Frottements, viscosité et écoulement des fluides

Introduction

Fait expérimental de départ : à volume égal, sous une même pression et à température constante, une solution HUILEUSE s'écoule PLUS LENTEMENT qu'une solution AQUEUSE. Cette lenteur d'écoulement est due aux FROTTEMENTS plus ou moins importants ENTRE LES MOLÉCULES du fluide : on donne à cette propriété le nom de VISCOSITÉ. L'intérêt du chapitre est directement hématologique et vasculaire. Le sang n'est pas un liquide ordinaire : c'est une suspension de globules rouges dans le plasma, dont la viscosité dépend de l'hématocrite et des protéines plasmatiques. Elle augmente dans la polyglobulie, dans l'inflammation — par surproduction de macromolécules linéaires — et au froid, expliquant le syndrome de Raynaud. Le sang est en outre un fluide NON NEWTONIEN, dont la viscosité varie avec la vitesse d'écoulement. Nous verrons la définition et la relation fondamentale de la viscosité, les facteurs qui la modifient, son application au sang, la distinction newtonien / non newtonien, et enfin les lois de l'écoulement — conservation du débit, Bernoulli, Poiseuille et Stokes.

I. Définition et relation fondamentale

A. Définition

• La VISCOSITÉ est la plus ou moins grande difficulté avec laquelle les différentes COUCHES d'un fluide se déplacent LES UNES PAR RAPPORT AUX AUTRES.
• Elle est l'expression des FORCES MÉCANIQUES DE FROTTEMENT à l'intérieur du fluide et des FORCES DE LIAISONS INTERMOLÉCULAIRES qu'il faut ROMPRE pour mobiliser les unes par rapport aux autres les molécules d'un fluide en écoulement.
• LA FLUIDITÉ EST L'INVERSE DE LA VISCOSITÉ.

B. La relation fondamentale

Le fluide est assimilé à un empilement de couches mobiles les unes par rapport aux autres. S'il faut une force F pour déplacer la couche inférieure de surface S à la vitesse v, il faut une force F + dF pour mobiliser la couche supérieure de même surface, distante de dx, à la vitesse v + dv. La force F de frottement — donc de viscosité — entre ces deux lames est :

• PROPORTIONNELLE à la SURFACE S des lames.
• PROPORTIONNELLE à la DIFFÉRENCE DE VITESSE dv entre les deux lames.
• INVERSEMENT PROPORTIONNELLE à la DISTANCE dx qui sépare les deux lames.
• Donc PROPORTIONNELLE au GRADIENT DE VITESSE dv/dx.
• Elle dépend enfin du fluide par l'intermédiaire de son COEFFICIENT DE VISCOSITÉ η.
• D'où la relation fondamentale : F = η · S · dv/dx.

C. Dimension et unités du coefficient de viscosité

• De F = η·S·dv/dx on tire η = F·dx / (S·dv).
• Dim η = M·L·T⁻²·L / (L²·L·T⁻¹) = M·L⁻¹·T⁻¹.
• L'unité SI est le kg/m·s, appelé POISEUILLE. 1 POISEUILLE = 10 POISE.
• Exemple à retenir : η de l'EAU à 20 °C = 10⁻³ POISEUILLE.

D. Le coefficient de viscosité relatif

• ηr = η / η(eau). C'est un RAPPORT de viscosités : il n'a NI DIMENSION NI UNITÉ.
• Utilité pratique : il est FACILE À MESURER, puisqu'il suffit de comparer l'écoulement du fluide à celui de l'eau dans le même dispositif.

II. Les facteurs modifiant le coefficient de viscosité

A. Pour un gaz ou un liquide pur

• η dépend de DEUX facteurs seulement : la NATURE DU FLUIDE et la TEMPÉRATURE.

B. Pour les solutions micromoléculaires

η dépend de QUATRE facteurs :

• La NATURE DU SOLVANT.
• La NATURE du ou des SOLUTÉS.
• La CONCENTRATION du ou des solutés.
• La TEMPÉRATURE.

C. Pour les solutions macromoléculaires et les suspensions

Ici, η dépend de TROIS facteurs :

• La VISCOSITÉ DU SOLVANT.
• La FORME de la suspension ou de la macromolécule.
• Le VOLUME RELATIF.
• Ces trois paramètres sont réunis dans la relation : η = η₀ (1 + K·Φ), où η₀ est le coefficient de viscosité du SOLVANT, K un facteur dépendant de la FORME, et Φ le VOLUME RELATIF.
• K = 2,6 pour les particules de forme SPHÉRIQUE — comme les globules rouges.
• K > 1 000 pour les macromolécules de forme LINÉAIRE. L'écart considérable entre ces deux valeurs explique pourquoi une faible quantité de macromolécules linéaires suffit à élever fortement la viscosité.
• Φ = volume des macromolécules (ou des particules) / volume total de la solution (ou de la suspension).

III. Application — la viscosité du sang

Le sang est considéré comme une SUSPENSION de globules — essentiellement ROUGES — dans du PLASMA, qui joue le rôle de solvant. Les globules rouges étant sphériques et symétriques, on prend K = 2,6, et le volume relatif Φ n'est autre que l'HÉMATOCRITE : Φ = volume des GR / volume du sang = Ht.

• D'où la relation : η(sang) = η(plasma) × (1 + K·Ht).

A. Les causes d'augmentation de la viscosité sanguine

• L'AUGMENTATION DE LA VISCOSITÉ DU PLASMA (voir ci-dessous).
• L'AUGMENTATION DE L'HÉMATOCRITE — c'est-à-dire la POLYGLOBULIE, par augmentation du nombre de globules rouges.
• LA BAISSE DE TEMPÉRATURE. Cette augmentation de viscosité entraîne une mauvaise circulation au niveau des EXTRÉMITÉS, responsable du SYNDROME DE RAYNAUD et des engelures.
• À l'inverse, l'hématocrite DIMINUE en cas d'ANÉMIE — et avec lui la viscosité sanguine.

B. La viscosité du plasma

Le plasma est lui-même une SOLUTION DE MACROMOLÉCULES PROTÉIQUES : ALBUMINE, GLOBULINES (α1, α2, β1, β2) et FIBRINOGÈNE. Ici, Φ est le volume relatif des macromolécules.

• La viscosité du plasma AUGMENTE dans deux circonstances :
• L'INFLAMMATION, par surproduction de macromolécules LINÉAIRES : FIBRINOGÈNE et α2-GLOBULINES — d'où un K supérieur à 1 000 et un effet majeur sur la viscosité.
• L'INJECTION de macromolécules LINÉAIRES : les DEXTRANES.

IV. Fluides newtoniens et non newtoniens

• Un fluide est NEWTONIEN lorsque η est INDÉPENDANT de la VITESSE D'ÉCOULEMENT.
• Si la vitesse MODIFIE η, le fluide est dit NON NEWTONIEN : la structure du fluide varie avec la vitesse d'écoulement, et donc sa viscosité.
• LE SANG EST UN FLUIDE NON NEWTONIEN, et son comportement s'explique par la réversibilité de l'agrégation des globules rouges :
• À FAIBLE vitesse : les GR ne sont plus séparés mais S'AGGLOMÈRENT EN ROULEAUX — phénomène RÉVERSIBLE. La dissymétrie ainsi créée fait fortement AUGMENTER K, donc la viscosité AUGMENTE.
• À FORTE vitesse : le phénomène s'INVERSE — le mouvement DÉTRUIT les agglomérats, les GR sont séparés, K diminue et la viscosité DIMINUE.

V. Les lois de l'écoulement

A. Le débit et sa conservation

• Le DÉBIT est le volume écoulé par unité de temps : D = dV/dt. Dim D = L³·T⁻¹ ; unité SI : m³·s⁻¹, en pratique L·s⁻¹.
• Le débit s'écrit aussi D = S·v (section × vitesse).
• LOI DE CONSERVATION DU DÉBIT : dans un système de canalisations qui se divisent, D = D1 + D2 + D3 + … = S1·v1 + S2·v2 + S3·v3 + … Le débit total se conserve, quelle que soit la géométrie du réseau.
• Conséquence : lors d'une DILATATION, la section AUGMENTE, donc la vitesse DIMINUE — et inversement lors d'un rétrécissement.

B. La relation de Bernoulli

• Dans une canalisation HORIZONTALE : ρ·g·h + ½·ρ·v² + P = constante.
• Application au RÉTRÉCISSEMENT : la section diminue, donc la vitesse AUGMENTE, donc le terme ½ρv² AUGMENTE — et par conséquent LA PRESSION DIMINUE. La pression est donc DIMINUÉE dans un rétrécissement.
• Application à la DILATATION : la section augmente, la vitesse diminue, ½ρv² diminue, donc LA PRESSION AUGMENTE.
• Enfin, la pression DIMINUE PROGRESSIVEMENT AU COURS DE L'ÉCOULEMENT du fait des pertes par frottement : le long d'un tube, PD < PC < PB < PA.

C. La loi de Poiseuille

• PB − PC = 8·η·l·D / (π·r⁴), d'où l'expression du débit : D = (PB − PC)·π·r⁴ / (8·η·l), où l est la longueur de la canalisation et r son RAYON, avec r < 1 mm.
• Point capital : le débit varie comme la PUISSANCE QUATRIÈME DU RAYON. Diviser le rayon par deux divise le débit par seize — d'où l'importance considérable du calibre vasculaire dans la régulation circulatoire.
• Notion de RÉSISTANCE : PA − PD = R·D, où R est la résistance entre A et D. Les différences de pression s'ajoutent le long du trajet : PA − PD = (PA − PB) + (PB − PC) + (PC − PD).

D. La loi de Stokes — sédimentation

• Une particule sphérique de rayon r et de masse volumique ρ, tombant dans un fluide de masse volumique ρ₀, atteint une vitesse limite lorsque le poids apparent équilibre la force de frottement : (4/3)·π·r³·(ρ − ρ₀)·g = 6·π·η·r·v.
• D'où la VITESSE DE SÉDIMENTATION : v = (2/9)·(ρ − ρ₀)·g·r² / η.
• La vitesse de sédimentation est donc PROPORTIONNELLE au CARRÉ DU RAYON et INVERSEMENT PROPORTIONNELLE à la VISCOSITÉ — ce qui fonde la mesure de la vitesse de sédimentation des hématies et le principe de la centrifugation.

Conclusion

La viscosité exprime les frottements entre couches d'un fluide en écoulement ; son inverse est la fluidité. La relation fondamentale F = η·S·dv/dx montre que la force de frottement est proportionnelle à la surface et au gradient de vitesse. Le coefficient η, de dimension M·L⁻¹·T⁻¹, s'exprime en poiseuille — 10⁻³ poiseuille pour l'eau à 20 °C — tandis que le coefficient relatif ηr, rapport à l'eau, est sans dimension et commode à mesurer. Pour une suspension, tout tient dans η = η₀(1 + KΦ). Appliquée au sang, elle devient η**(sang) = η(plasma)·(1 + 2,6·Ht)** : la viscosité sanguine augmente avec la viscosité plasmatique, avec l'hématocrite — polyglobulie — et au froid — syndrome de Raynaud —, et diminue dans l'anémie. Le sang est de surcroît NON NEWTONIEN : à faible vitesse les hématies s'empilent en rouleaux et la viscosité augmente ; à forte vitesse les agrégats sont détruits et elle diminue. Enfin, les lois de l'écoulement — conservation du débit, Bernoulli et surtout Poiseuille en r⁴ — préparent le chapitre de la circulation sanguine. Le chapitre suivant traitera des phénomènes de convection et de migration.