Travail, énergie et potentiels

Introduction

Ce chapitre répond à une question unique : quels sont les facteurs responsables des MOUVEMENTS DES FLUIDES BIOLOGIQUES ? La réponse tient en une notion — le POTENTIEL — déclinée sous plusieurs formes : potentiel de PESANTEUR, potentiel ÉLECTRIQUE, potentiel CHIMIQUE d'un gaz, potentiel CHIMIQUE en solution, et enfin potentiel ÉLECTROCHIMIQUE d'un ion. L'intérêt est fondamental : un fluide ne se déplace jamais spontanément que dans le sens des POTENTIELS DÉCROISSANTS. C'est ce principe unique qui expliquera, dans les chapitres suivants, la diffusion, l'osmose, les potentiels de membrane et la circulation sanguine. Le potentiel électrochimique est en particulier la grandeur qui commande le mouvement de tout ion à travers une membrane cellulaire. Nous verrons le travail d'une force et celui d'un fluide, la relation travail-énergie, les notions d'énergie potentielle, de différence de potentiel et d'intensité du champ, puis les différents potentiels — pesanteur, électrique, chimique, électrochimique.

I. Le travail d'une force

A. Définition

• Une force F qui se déplace sur une distance dl effectue un travail : dW = F·dl·cos α, où α est l'angle entre le vecteur force et le sens du déplacement.
• Le TRAVAIL est une GRANDEUR SCALAIRE, qui s'additionne algébriquement, SANS DIRECTION mais avec un SIGNE et une INTENSITÉ.
• Dimension : Dim W = F × l = M·L·T⁻² × L = M·L²·T⁻². Unité SI : le JOULE (J).

B. Travail moteur et travail résistant

• Convention fondamentale reliant travail et énergie : W = −ΔE, soit dW = −dE. Si le système REÇOIT de l'énergie, E est POSITIVE ; s'il FOURNIT de l'énergie, E est NÉGATIVE.

C. Le travail d'un fluide

Un FLUIDE est un corps — liquide ou gazeux — dont les molécules sont FAIBLEMENT LIÉES, et qui peut ainsi prendre la forme du récipient qui le contient.

• Considérons un fluide se déplaçant dans une canalisation cylindrique de section S. Le fluide est sous pression P et exerce sur le piston une force F = P·S, orientée dans l'axe du cylindre.
• Avec α = 0 (cos α = 1) : dW = F·dl = P·S·dl. Or S·dl = dV, d'où la relation fondamentale : dW = P·dV.
• Il en résulte l'énergie de pression : dE = −P·dV.

Les trois énergies à retenir :

• Énergie de PRESSION : dE = −P·dV.
• Énergie CINÉTIQUE : Ec = ½·m·v².
• Énergie de PESANTEUR : E = m·g·h.

II. Énergies potentielles et potentiels

A. Différence d'énergie potentielle

Un travail étant une DIFFÉRENCE D'ÉNERGIE entre deux points A et B : lorsque le travail d'une quantité X varie de WA à WB, son énergie varie de ΔE. ΔE est appelée DIFFÉRENCE D'ÉNERGIE POTENTIELLE ; sa valeur dépend de la QUANTITÉ X et des POSITIONS de A et B dans le champ.

B. Différence de potentiel

• La valeur de la quantité X qui se déplace étant INDÉPENDANTE de sa position dans le champ, ΔE peut se mettre sous la forme ΔE = X·ΔΨ, d'où ΔΨ = ΔE / X = ΨA − ΨB.
• ΔΨ est la DIFFÉRENCE DE POTENTIEL (ddp) entre A et B. C'est la différence d'ÉNERGIE POTENTIELLE POUR L'UNITÉ DE QUANTITÉ (X = 1).

C. Intensité du champ et potentiel

• L'INTENSITÉ DU CHAMP Z est l'OPPOSÉE de la DÉRIVÉE DU POTENTIEL par rapport à la distance — c'est-à-dire l'opposée du GRADIENT DE POTENTIEL : Z = −dΨ/dl.
• Le signe NÉGATIF signifie que LE CHAMP EST DIRIGÉ DANS LE SENS DES POTENTIELS DÉCROISSANTS. C'est le principe qui gouvernera tous les transports décrits dans la suite.

III. Les différents potentiels

A. Le potentiel de pesanteur

• Ψ = g·h + constante. Si l'on prend comme origine des potentiels l'origine des hauteurs (constante = 0), alors Ψ = g·h.
• Le potentiel de pesanteur est l'ÉNERGIE POTENTIELLE DE PESANTEUR (en joules) portée par l'UNITÉ DE MASSE (en kg) : Ψ = g·h = EP/m, exprimé en JOULES/KILOGRAMME.
• L'énergie potentielle de pesanteur vaut donc EP = m·g·h.
• Attention au signe : g et l sont dirigés VERS LE BAS, alors que la convention des hauteurs prend comme sens positif du BAS VERS LE HAUT — d'où dh = −dl.

B. Le potentiel électrique

• Ici, la quantité X est la QUANTITÉ D'ÉLECTRICITÉ q. La différence d'énergie potentielle électrique lorsque q se déplace de A à B vaut ΔE = q·(VA − VB).
• VA − VB = ΔE/q = énergie / charge. Unité SI : le JOULE PAR COULOMB, c'est-à-dire le VOLT.
• Potentiel produit par une CHARGE PONCTUELLE q, en un point P situé à la distance d : V = k·q / (ε·d) — décroissance en 1/d.
• Potentiel produit par un DIPÔLE : Vp = k·q·l·cos θ / (ε·d²), où l est la distance entre les deux charges, θ l'angle entre l et d, et d la distance entre le point P et le MILIEU du segment joignant les deux charges. Le potentiel d'un dipôle décroît donc en 1/d², plus vite que celui d'une charge ponctuelle.

C. Le potentiel chimique d'un gaz parfait

Démonstration à connaître. L'énergie de compression ou de détente d'un gaz parfait est dE = −P·dV. Lorsque la pression varie de P1 à P2 :

• De PV = nRT on tire V = nRT/P, puis dV = −nRT·dP/P².
• D'où dE = −P·dV = nRT·(dP/P), et par intégration ΔE = nRT·(ln P2 − ln P1) = nRT·ln(P2/P1).
• L'ÉNERGIE DE PRESSION d'un gaz parfait s'écrit donc : E = nRT·ln P + constante.
• Le POTENTIEL CHIMIQUE μ est le RAPPORT DE L'ÉNERGIE PAR LA QUANTITÉ DE MATIÈRE (nombre de moles) : μ = E/n, exprimé en JOULES PAR MOLE. D'où la relation fondamentale : μ = μ₀ + RT·ln P, avec μ₀ = E₀/n.

D. Le potentiel chimique d'un gaz dans un mélange

• Chaque gaz i du mélange a une pression partielle Pi et un potentiel chimique μi = μ₀ + RT·ln Pi.
• Or Pi = xi·P, donc μi = μ₀ + RT·ln(xi·P) = μ₀ + RT·ln P + RT·ln xi. En posant μ**'₀ = μ₀ + RT·ln P = constante**, on obtient : μi = μ'₀ + RT·ln xi.

E. Le potentiel chimique en solution

• La relation établie pour un gaz dans un mélange est VALABLE DANS LES SOLUTIONS, que ce soit pour le solvant (indice 0) ou pour un soluté (indice i) : μi = μ'₀ + RT·ln xi.
• Passage de la fraction molaire à la concentration. La concentration du soluté est Ci = ni/V. Lorsque la solution est TRÈS DILUÉE, le nombre de moles des solutés est très inférieur à celui du solvant, d'où xi ≈ ni/n₀. De plus, le volume V est dû en quasi-totalité au solvant, de volume molaire V₀ : V = n₀·V₀.
• Dans ces conditions : Ci = ni/V = ni/(n₀·V₀) = xi/V₀, donc xi = Ci·V₀.
• D'où le potentiel chimique d'un soluté i en SOLUTION TRÈS DILUÉE : μi = μ''₀ + RT·ln Ci, avec μ**''₀ = μ'₀ + RT·ln V₀ = constante**.

IV. Le potentiel électrochimique

Des ions de même nature en solution possèdent à la fois un POTENTIEL CHIMIQUE (en J/mol) et un POTENTIEL ÉLECTRIQUE (en J/C) : l'ensemble constitue le POTENTIEL ÉLECTROCHIMIQUE. Du fait de la différence des unités, on passe à la SEULE GRANDEUR COMMUNE : l'ÉNERGIE.

• Soient ni moles de l'ion i, de valence zi, portant une énergie totale ET. La charge portée vaut Q = zi·q₀·ni.
• Énergie CHIMIQUE : dEch = μi·dni. Énergie ÉLECTRIQUE : dEel = V·dQ = V·zi·q₀·dni.
• Énergie TOTALE : dET = dEch + dEel = μi·dni + V·zi·q₀·dni.
• Le potentiel électrochimique est l'ÉNERGIE PORTÉE PAR L'UNITÉ DE QUANTITÉ : PEC = dET/X — et X peut être Q ou dni.
• Si X est la QUANTITÉ D'ÉLECTRICITÉ Q (en coulombs) : PEC = V + μi/(zi·q₀).
• Si X est la QUANTITÉ DE MATIÈRE ni (en moles) : PEC = μi + V·zi·q₀.
• Ces deux expressions sont équivalentes : elles ne diffèrent que par l'unité de quantité choisie. Le potentiel électrochimique est la grandeur qui commande le mouvement des ions à travers les membranes — nous le retrouverons au chapitre des potentiels de membrane.

V. Tableau récapitulatif

Conclusion

Le travail d'une force, dW = F·dl·cos α, est une grandeur scalaire exprimée en joules, MOTEUR quand il est positif — le système perd de l'énergie, le phénomène est spontané — et RÉSISTANT quand il est négatif. Pour un fluide, il prend la forme remarquable dW = P·dV, d'où l'énergie de pression dE = −P·dV, à ranger auprès de l'énergie cinétique ½mv² et de l'énergie de pesanteur mgh. De la différence d'énergie potentielle on tire la différence de POTENTIEL, ΔΨ = ΔE/X — l'énergie potentielle par unité de quantité — et l'intensité du champ Z = −dΨ/dl, dont le signe négatif énonce la loi générale : le champ est dirigé dans le sens des POTENTIELS DÉCROISSANTS. Selon la nature de la quantité déplacée, ce potentiel devient gh pour la pesanteur, V pour l'électricité, μ = μ₀ + RT·ln P pour un gaz, μi = μ''₀ + RT·ln Ci pour un soluté dilué, et leur somme — le POTENTIEL ÉLECTROCHIMIQUE — pour un ion. Le chapitre suivant, consacré aux frottements et à la viscosité, examinera ce qui s'oppose à ces mouvements.